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2021-01-25 18:01:36|
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本申请要求2017年9月5日提交的名称为“magneticbuildingsetandmethodforteachingnumeracy(磁性建筑套件和用于教授计算的方法)”的美国临时专利申请第62/554,289号的优先权，该申请在此全文引用作为参考就如同在本文中完整阐述一样。
背景技术：
儿童通过游戏中的实验、观察和比较获得的非正式理解为高级思维和以后学习正式超学科教育(stem)概念奠定了基础。
附图说明
图1-164示出了示例性磁性建筑套件，并说明了用于教授计算、几何形状、算术、拼写以及基本结构设计和组装技术的示例性方法。
图1示出了示例性磁性建筑套件的托盘和10个框架。
图2示出了示例性磁性建筑套件的托盘和10个框架。
图3示出了示例性磁性建筑套件的托盘。
图4示出了示例性磁性建筑套件的托盘。
图5-8示出了示例性磁性建筑套件的托盘和单元标记器。
图9示出了示例性磁性建筑套件的单元标记器。
图10示出了示例性磁性建筑套件的单元标记器的剖视图。
图11示出了示例性磁性建筑套件的单元标记器。
图12示出了示例性磁性建筑套件的单元标记器的剖视图。
图13示出了示例性磁性建筑套件的托盘和单元标记器。
图14示出了示例性磁性建筑套件的托盘和单元标记器。
图15示出了示例性磁性建筑套件的托盘和单元标记器。
图16示出了示例性磁性建筑套件的托盘和单元标记器的剖视图。
图17示出了示例性磁性建筑套件的托盘和单元标记器的剖视图。
图18示出了示例性磁性建筑套件的托盘和单元标记器的剖视图。
图19示出了示例性磁性建筑套件的托盘和单元标记器的剖视图。
图20-23示出了示例性磁性建筑套件的数量卡。
图24示出了示例性磁性建筑套件的运算符卡。
图25示出了示例性磁性建筑套件的托盘和单元标记器。
图26示出了示例性磁性建筑套件的卡。
图27示出了示例性磁性建筑套件的卡。
图28示出了示例性磁性建筑套件的托盘和单元标记器。
图29示出了示例性磁性建筑套件的托盘和单元标记器。
图30示出了示例性磁性建筑套件的托盘和单元标记器。
图31示出了示例性磁性建筑套件的卡。
图32示出了示例性磁性建筑套件的卡。
图33示出了示例性磁性建筑套件的托盘和单元标记器。
图34示出了示例性磁性建筑套件的托盘和单元标记器。
图35示出了示例性磁性建筑套件的卡。
图36示出了示例性磁性建筑套件的卡。
图37示出了示例性磁性建筑套件的托盘和单元标记器。
图38示出了示例性磁性建筑套件的卡。
图39示出了示例性磁性建筑套件的卡。
图40示出了示例性磁性建筑套件的单元标记器。
图41示出了示例性磁性建筑套件的单元标记器的剖视图。
图42示出了示例性磁性建筑套件的单元标记器。
图43示出了示例性磁性建筑套件的单元标记器的剖视图。
图44示出了示例性磁性建筑套件的托盘和单元标记器。
图45示出了示例性磁性建筑套件的托盘和单元标记器。
图46示出了示例性磁性建筑套件的托盘和单元标记器。
图47示出了示例性磁性建筑套件的托盘和单元标记器的剖视图。
图48示出了示例性磁性建筑套件的托盘和单元标记器的剖视图。
图49示出了示例性磁性建筑套件的托盘和单元标记器的剖视图。
图50示出了示例性磁性建筑套件的托盘和单元标记器的剖视图。
图51示出了示例性磁性建筑套件的单元标记器。
图52示出了示例性磁性建筑套件的单元标记器的剖视图。
图53示出了示例性磁性建筑套件的单元标记器。
图54示出了示例性磁性建筑套件的单元标记器的剖视图。
图55示出了示例性磁性建筑套件的托盘和单元标记器。
图56示出了示例性磁性建筑套件的托盘和单元标记器。
图57示出了示例性磁性建筑套件的托盘和单元标记器。
图58示出了示例性磁性建筑套件的托盘和单元标记器的剖视图。
图59示出了示例性磁性建筑套件的托盘和单元标记器的剖视图。
图60示出了示例性磁性建筑套件的托盘和单元标记器的剖视图。
图61示出了示例性磁性建筑套件的托盘和单元标记器的剖视图。
图62示出了示例性磁性建筑套件的托盘和单元标记器。
图63示出了示例性磁性建筑套件的托盘和单元标记器。
图64示出了示例性磁性建筑套件的托盘和单元标记器。
图65示出了示例性磁性建筑套件的托盘和单元标记器。
图66示出了示例性磁性建筑套件的卡。
图67示出了示例性磁性建筑套件的卡。
图68示出了示例性磁性建筑套件的十框架。
图69-71示出了示例性磁性建筑套件的十框架和单元标记器。
图72-75示出了示例性磁性建筑套件的托盘和单元标记器。
图76示出了示例性磁性建筑套件的十框架和单元标记器。
图77示出了示例性磁性建筑套件的十框架和单元标记器。
图78示出了示例性磁性建筑套件的十框架、托盘和单元标记器。
图79示出了示例性磁性建筑套件的十框架、托盘和单元标记器。
图80示出了示例性磁性建筑套件的位值托盘。
图81示出了示例性磁性建筑套件的位值托盘和单元标记器。
图82示出了示例性磁性建筑套件的托盘、位值托盘和单元标记器。
图83-87示出了示例性磁性建筑套件的位值托盘和单元标记器。
图88-89示出了示例性磁性建筑套件的托盘和单元标记器。
图90-95示出了示例性磁性建筑套件的卡。
图96示出了示例性磁性建筑套件的托盘和单元标记器。
图97示出了示例性磁性建筑套件的托盘和单元标记器。
图98示出了示例性磁性建筑套件的卡。
图99示出了示例性磁性建筑套件的卡。
图100示出了示例性磁性建筑套件的托盘和单元标记器。
图101-104示出了示例性磁性建筑套件的卡。
图105示出了示例性磁性建筑套件的托盘、级分和单元标记器。
图106示出了示例性磁性建筑套件的托盘和单元标记器。
图107示出了示例性磁性建筑套件的托盘和单元标记器。
图108示出了示例性磁性建筑套件的托盘、级分和单元标记器。
图109示出了示例性磁性建筑套件的托盘、级分和单元标记器。
图110-114示出了示例性磁性建筑套件的托盘和单元标记器。
图115示出了示例性磁性建筑套件的托盘和单元标记器的堆叠。
图116示出了示例性磁性建筑套件的托盘和单元标记器的堆叠。
图117-119示出了示例性磁性建筑套件的托盘和单元标记器的侧向互锁轮廓。
图120示出了示例性磁性建筑套件的托盘和单元标记器的侧向互锁轮廓的堆叠。
图121示出了示例性磁性建筑套件的托盘和单元标记器。
图122示出了示例性磁性建筑套件的游戏板。
图123-135示出了示例性磁性建筑套件的游戏板、托盘、单元标记器和图片。
图136示出了示例性磁性建筑套件的多个游戏板。
图137-149示出了由示例性磁性建筑套件的托盘和单元标记器制成的形状或结构。
图150示出了示例性磁性建筑套件的托盘和字母标记。
图151示出了示例性磁性建筑套件的托盘和字母标记。
图152示出了示例性磁性建筑套件的托盘和字母标记。
图153示出了示例性磁性建筑套件的托盘和字母标记。
图154示出了示例性磁性建筑套件的托盘和字母标记。
图155示出了示例性磁性建筑套件的托盘和字母标记。
图156示出了示例性磁性建筑套件的托盘和字母标记。
图157示出了示例性磁性建筑套件的托盘。
图158示出了示例性磁性建筑套件的托盘和单元标记器。
图159示出了示例性磁性建筑套件的托盘。
图160示出了示例性磁性建筑套件的托盘和单元标记器。
图161示出了示例性磁性建筑套件的托盘。
图162示出了示例性磁性建筑套件的托盘和单元标记器。
图163示出了示例性磁性建筑套件的托盘。
图164示出了示例性磁性建筑套件的托盘和单元标记器。
发明详述
公开了用于教授计算的磁性建筑套件和方法。示例性磁性建筑套件1包括具有凹口3的多个托盘2，该凹口3容纳多个单元标记器4，这些单元标记器4可以在教授计算、基本算术、几何形状和拼写的各种操纵性练习和游戏中实施。磁性建筑套件1使用户(例如，教师和/或学生)能够构建多个几何形状、结构和其他构造。可以提供托盘2以表示多个数值量，由此单个托盘在一侧上提供相应数量的能够容纳相等数量的单元标记器4的凹口3。可以如在第一侧面上存在的那样在第二侧面上为托盘2提供相等数量的凹口3，使得它们是可逆的，从而可以将单元标记器插入任一侧面，因此允许托盘和标记器组件一个堆叠在另一个之上。当放在工作面(例如桌子)上时，单个托盘2中朝上的凹口3的数量，因此可以插入朝上的凹口的单元标记器4的数量，代表该特定托盘2的单元数量。当放置在工作面(例如工作面)上时，托盘2底侧的凹口3可以提供堆叠和可逆性，在计算托盘2的总单元数量时不会考虑这些凹口。当搁置在工作面上时，被认为具有两个单元数量的托盘2可以在第一朝上侧具有两个凹口3，而在搁置在工作面上的第二侧面具有对应的两个凹口3。出于本文所述的计算练习和游戏的目的，具有两个单元数量的该托盘2可以被认为是两单元托盘。托盘2内的标记器4可以统称为标记器组件5。
代表特定数值量的托盘2和标记器组件5可以作为一个整体进行操纵，而包含在其中的单元标记器对于学生来说是可见的，并且可以单独查看，操纵，排列和计数。指导学生在各种练习中操纵托盘和标记器，以学习计数，数字组成和分解，数量感数，算术运算，位值，算术故事问题，几何形状和拼写。
在继续之前，应注意，如本文所用，术语“包括”和“包括有”是指但不限于“包括”或“包括有”和“至少包括”或“至少包括有”。”术语“基于”是指“基于”和“至少部分基于”。
这里描述的实施例是出于说明的目的而提供的，并且不意图是限制性的。可以利用其他装置和/或装置配置来执行本文描述的操作。提供本文所示和所述的操作以说明示例实施方式。注意，操作不限于所示的顺序。还可以实现其他操作。
图1-164示出了示例性磁性建筑套件1并显示了用于教授计算、形状和拼写的示例方法。可以提供代表任何已知数量的托盘2，并且可以根据需要设置有尽可能多的凹口3。在一个实施例中，可以提供代表以下数量的托盘2：代表一个数量的托盘2，其在第一侧面上具有一个凹口3，而在第二侧面上具有一个凹口3，代表两个数量的托盘2，在第一侧面上具有两个凹口3，在第二侧面上具有两个凹口3，代表三个数量的托盘2，在第一侧面具有三个凹口3，在第二侧面具有三个凹口3，代表四个数量的托盘2，在第一侧面上具有四个凹口3，在第二侧面上具有四个凹口3，代表五个数量的托盘2，在第一侧面具有五个凹口3，在第二侧面具有五个凹口3，十框6的形式的特殊托盘2，代表十个数量，并具有在第一侧面上以两行五个排列的十个凹口3以及在第二侧面上以两行五个排列的十个凹口。
托盘2内的凹口3的表面可以被印刷，涂漆，凹陷，蚀刻或以其他方式刻入或标记数字记号7，其从数字“1”开始，并且在每个随后的凹口中顺序地增加一，使得最后的凹口可以被印刷，涂漆，压凹，蚀刻或以其他方式刻入或标记与托盘2代表的数量相对应的数字。当放置在工作面(例如桌子)上时，没有将标记器插入凹口3且数字记号7可见的托盘2可以代表数字线。托盘2中的凹口3也可以用记号7来标记，从“1”以外的数字开始，并且可以表示沿数字线转置的量。例如，可以提供具有五个凹口的托盘2，其用数字“6”，“7”，“8”，“9”和“10”标记。当以线性关系放置且与前托盘2相邻时，前托盘2带有五个凹口，凹口上设有数字“1”、“2”、“3”、“4”和“5”，可以表示模块化的数字线。可以提供具有五个凹口和数量级大于十的数字序列的附加托盘2，以进一步扩展所表示的数字线。
注意，在附图中没有为每种情况示出附图标记，其中为了简化附图，在同一附图中多次示出了附图标记所指的元件(例如，托盘2之一或标记器4之一仅可以标记一次，即使显示了多个托盘或标记器)。从附图清楚地理解同一元件的多个实例是多个实例，因此不需要每个实例都这样单独标记。
学生可以通过将标记器4插入托盘内提供的凹口3中来练习计数。在大声说出数字“1”的词语的同时，可以指示学生将标记器插入到包含数字“1”的记号7的凹口中来开始。然后，可以指示学生进入包含数字“2”的记号7的下一个相邻的凹口3，并插入新的标记器4，大声说出数字“2”的词语。学生可以重复此过程，直到托盘中的所有凹口都被标记器4填满且学生已经完成了给定托盘和代表数量的计数练习为止。当所有标记器4都插入到托盘上的凹口中时，学生可以通过一边看标记器4一边记住所代表的数量，快速对它们计数而无需大声说话，或将托盘2和标记器4代表的数量进行感数，从而进一步练习计算技能。
例如，如图77所示，单元标记器4可以在第一侧面，第二侧面或两侧被印刷，涂漆，压凹或以其他方式刻有数字记号8。当学生在进行上述公开的计数练习时，学生将带数字记号8的标记器4放入具有匹配数字记号7的托盘凹口中，从而增强其对数字的识别和记忆，并加强计数练习。
单元标记器4可以在第一侧面、第二侧面或者在第一侧面和第二侧面两者上被印刷，涂漆，压凹，蚀刻或以其他方式刻有面部、动物、昆虫、植物、水果、花朵、食品、星体、流行人物或其他学生可识别并为学生所知的物体的图片9。当使用上面印有图片的单元标记器进行上述公开的计数练习时，学生可以对大量已知的和相关的物体进行计数，如标记上所显示的那样，从而进一步增强他们对数字练习的认识和参与。
封闭在托盘和标记器内的磁体。在一个实施例中，磁体10可以被封闭在托盘凹口3和单元标记器4内，使得标记器4在随意操作期间保持固定在凹口3内，但是在需要时可以容易地移除。当将标记器4插入凹口3中时，标记器4内的磁体10对凹口3内的磁体10的吸引力还提供听觉和运动感觉反馈，这可以进一步增强学习体验和游戏时的享受。利用他们的想象力，学生可以通过堆叠托盘组件12和标记器组件5来构建多个几何形状、构造或其他结构11。托盘凹口内的磁体10和标记器4内的磁体10可以具有偶极轴，其中标记器4的第一侧面可以被吸引到托盘2的第一侧面内的凹口3，同一标记器4的第二侧面可以被同一托盘2的第一侧面的凹口排斥。另外，标记器4的第二侧面可以被吸引到同一托盘2的第二侧面内的凹口3中，并且标记器4的第二侧面可以被同一托盘2的第一侧面中的凹口排斥。通过实验和探索，学生可以确定磁性标记器4的侧面和取向，该磁性标记器4可装入托盘内的相应磁性凹口3中。
注意，本文公开的磁体构造是示例构造。在另一个实施例中，可以在盘中提供钢块或其他磁性材料，并且仅在托盘中提供磁体，反之亦然。另外，该装置不限于用磁体实施。可以实现用于可移除地附接托盘和标记器的其他机构。在熟悉本文的教授之后，本领域普通技术人员将容易理解，可以基于设计考虑来改变特定材料。
数字构成描述了数学的性质，由此可以将两个或更多个数字的集合组成一个更大的数字。数字分解描述了数学的性质，由此数字可以分解为两个或更多个较小的数字。学生可以在教师的帮助下，通过将两个或更多个彼此相邻的托盘2放置在工作面上并将单元标记器4插入全部托盘2中的每个凹口3中，实现托盘和标记器组件来说明数字的构成和分解。然后，学生和教师可以对每个单独的托盘2中的单元标记器4进行计数，注意每个托盘2代表的数量，然后对所有托盘2中存在的单元标记器4的总数进行计数。
例如，教师可以将一单元托盘2放置在工作面上。在教师的指导下，学生可以将单个单元标记器4插入到一单元托盘2内的凹口3中，并对单元标记器计数，大声说出数字的名称。然后，教师可以使用上述练习将两单元托盘2放置在工作面上，并指示学生将单元标记器4放置在两单元托盘2的凹口3内。在练习的这个阶段，学生可能已经在工作面上放置了插入了标记器4的单个一单元托盘2和插入了两个标记器4的单个两单元托盘2，如图25所示。教师现在可以指示学生大声计数工作面上存在的标记器4的总数。在教师的帮助下，学生可以对工作面上存在的总共三个单元标记器4进行计数。三是所描述练习的正确答案。教师和学生可以进一步讨论由托盘12和标记器4表现出的现象，由此工作面上存在的三个标记器4的数量由一单元托盘2和标记器组件5以及两单元托盘2和标记器组件5组成。如图28所示，学生可以在工作面上放置三单元托盘2，并与一单元托盘和两单元托盘2对齐，并注意三单元托盘2的长度等于一单元托盘2和两单元托盘2加在一起时的长度。最后，如图29所示，通过将三单元托盘2堆叠在一单元托盘2及其标记器4的顶部，学生可以进一步强调相等性。
数量和运算符卡。在图21-23所示的实施例中，可以向建筑套件1提供一组卡13，其可以向学生展示给定数量的具体表示形式和相等数量的相应符号数字表示之间的关系，给定数量的具体表示形式为填充有单元标记器4的托盘2或填充有单元标记器4的托盘组件12的形式。在一个实施例中，所提供的该组卡13的每一个都在第一侧面上以从数字“1”开始并且连续递增一直到且包括但不限于数字“20”的序列印刷有数字记号14。该组卡中的每张可以在第二侧面上印有托盘或托盘组件的图形表示15，托盘或托盘组件中填充有单元标记器，单元标记器的数量等于每个相应卡的第一侧面上的数字所表示的数量。这些具有数量15和14的图形和数字表示的卡13在下文中可以称为数量卡16。这些卡13的绘图显示了一组优化的图形表示15，由此可以实现为表示数量的数量最少的托盘2显示在图片15中，并且在可能的情况下，该数量被分为五单元托盘2和十单元托盘2。例如，数量为“4”的卡13显示单个四单元托盘2，数量为“6”的卡显示了五单元托盘2和一单元托盘2。在一些数学练习中，对于某些水平的学习者，提供显示出托盘2的分组(优化组除外)的数量卡13的排列可能是有利的。例如，数量卡“4”可以在其图形表示15中示出两个两单元托盘2，而不是单个四单元托盘2。当检查加法运算练习时，该图形表示15的优点是显而易见的。在练习中使用两个两单元托盘2时，所得解可能在工作面上具有两个两单元托盘2而不是单个四单元托盘2。
如图24所示，一组卡13也与建筑套件一起提供，该建筑套件可以在每侧上印刷算术符号之一，这些算术符号是加号、减号、乘号和除号(也称为剑号)、等号以及表示不相等的不等号。在实施例中，卡可以已经在第一侧面上印刷有算术符号中的一个并且可以在第二侧面上印刷了与在第一侧面上印刷的符号相反的符号。通常，这些可以被称为符号卡17。符号卡可以与托盘2和单元标记器组件5一起布置在工作面上，以便示出基本的算术方程式。当在方程式中使用带有算术运算符号之一的符号卡17时，如图26所示，该符号卡在下文中也可以称为运算符卡18。当在方程式中使用带有算术相等符号之一的符号卡17时，例如在图26中所示，该符号卡在下文中也可以称为相等卡19。
当在算术方程式中使用数量卡16时，学生可以实现已印刷有托盘2和单元标记器组件5的图形表示15来表示所表示的数量的卡的第一侧面。当在算术方程式中进一步使用数量卡16时，学生还可以实现已印刷有数字以表示所表示的数量的卡14的第二侧面。学生还可以实现图形卡和数字卡13的组合，具体取决于学生的成就水平、学习方式、所教的练习或教师的判断力。作为教学练习的一部分，学生可以通过将卡13依次放置在工作面上，即，将多个数量的卡16与一个或多个算术运算符卡18组合在一起，然后与等式卡19组合在一起，并以表示该方程式的解的数量卡16结尾，来将卡13排列成算术方程式。
加法运算练习。在教师的指导下，学生可以通过将两个或多个填充有单元标记器4的托盘2放在工作面上并计算单元标记器4的总数来学习执行算术的加法运算。在一个实施例中，学生可以首先将第一托盘2放在工作面上。然后，学生可以继续将单元标记器4插入第一托盘的凹口3中，从一开始依次大声计数，一直进行到它们填满第一托盘2内的所有凹口3为止。教师可以在此时帮助学生，注意已经在第一托盘2中计数的单元标记器4的总数。然后，教师可以通过将它们放置在工作面上来向学生出示上述数量卡16的选择。所出示的卡可以具有朝上的侧面，该侧面已经印刷有托盘和单元标记器组件或多个组件的图形表示15。可以要求学生选择与表示15和他们刚刚计数的第一托盘2的数量相匹配的数量卡16，并且教师可以移除与第一托盘的数量不匹配的卡16。
在另一个实施例中，教师可以简单地将匹配数量卡16放置在工作面上，而学生不必选择匹配数量卡16。在两种情况下，匹配数量卡16现在都放置在工作面上。
接下来，教师将已经印刷有加号的运算符卡18放置在工作面上并与第一张卡相邻。在有或没有教师的帮助下，学生可以选择第二托盘2并将其与第一托盘2相邻地放置在工作面上。教师可以指示学生将托盘2沿最长轴对齐以形成一条线。接下来，学生将单元标记器4插入第二托盘2的凹口2中，再次从一开始大声计数，继续进行直到它们填满第二托盘2中的所有凹口为止。接下来，教师和学生重复选择与最近计数的托盘和标记器组件的数量相匹配的数量卡16a并将数量卡16放置在工作面上并与上面印有加号的运算符卡18相邻的过程。学生可以重复上述的放置托盘，插入标记器，选择和放置匹配数量卡以及将加号运算符卡18放置在工作面上直到达到要相加到一起的期望数量的托盘2的过程。
在一个实施例中，当期望数量的托盘2和单元标记器组件5以及相应的卡13已放置在工作面上时，教师可以接着将等号卡19放置为邻近先前放置的由数量卡16和加号运算符卡17或多个加号运算符卡17构成的组件。然后，教师可以向学生披露加号运算符卡18的意义和等号卡19的意义。接着，教师可以指示学生计算工作面上存在的单元标记器4的总数。当学生正确地计算了单元标记器4的总数时，教师可以向学生出示多张数量卡16，其中一张卡上已经印制了数量等于工作面上存在的单元标记器4总数的数量表示。
在另一个实施例中，教师可以简单地向学生出示数量卡16，该数量卡16等于工作面上存在的单元标记器4的总数。无论哪种情况，都可以认为等于工作面上存在的单元标记器4的总数的卡16是由托盘2和单元标记器组件5以及先前放置的卡组件13表示的算术加法问题的解。此数量卡16在下文中可以称为解卡20。然后，教师或学生可以将解卡放在工作面上，已印刷该数量的图形表示的一侧面朝上并与等号卡相邻。图25-27示出了使用托盘2以及标记器组件5和卡13的示例加法练习。
在练习的此阶段，加法运算完成。现在，教师可以指示学生翻转数量卡16，以使已印刷有数量的数字表示14的侧面朝上。教师可以与学生讨论数字量卡16的意义以及它们与由托盘2和单元标记器组件5表示的数量的关系。
在加法运算教学练习的另一个实施例中，教师可能发现用托盘和标记器组件本身代替数量卡16是有利的，因此将加号卡17或多个加号卡17和等号卡19放置成邻近托盘2和标记器组件5且位于托盘2和标记器组件5之间是有利的。
相等和不相等练习。在教师的指导下，学生可以使用上文公开的建筑套件1和卡13探索数学中相等和不相等的概念。例如，学生可以在工作面上放置一个四单元托盘2和标记器组件5。然后，学生可以将一单元托盘2和标记器组件5放置工作面上，靠近但不接触四单元托盘2，以使它们可以分别作为两个不同的数量表示形式“4”和“1”进行检查，如图34中所示。接下来，教师可以要求学生检查工作面上的四单元托盘2和一单元托盘2，并确定它们是否相同。自然，它们是不相同的，因为“4”不等于“1”。教师可以要求学生为工作面上存在的两个数量“4”和“1”中的每个选择一个数量卡16，并将它们放置在工作面上，每个数量卡16与其相应的托盘2相邻。根据教师或学生的判断，他们可以将卡13放在工作面上，使托盘2和标记器组件5的图形表示15，图35，或者数量数字14朝上，图26。接下来，教师可以向学生提供相等卡19，该相等卡19的第一侧面上印有等号，第二侧面印有不等号，并说明等号的意思是“相同”，而不等号的意思是“不相同”。然后，教师可以要求学生将相等卡19放置在两个数量卡16之间的工作面上，并且上面印有不等号的侧面朝上。
在练习的下一阶段，教师可以要求学生检查工作面上的托盘2和标记器组件5，并尝试确定可以将哪个托盘2或托盘2的组合添加到一单元托盘2中才能达到由四单元托盘2表示的相同数量。针对这一挑战，有多种正确的解决方案，邀请学生进行不同的问题解决。在图37所示的解决方案中，学生选择了一个三单元托盘2，并将其放置成与一单元托盘2邻近，因此等于“4”。当托盘组件和标记器组件的两个布置相等时，教师可以指示学生将运算符卡19翻转过来，如图38和39所示，这样，等号朝上，从而完成练习。
标记器内的偏置磁体。如图40-61所示，在实施例中，在建筑套件中提供的一些或全部磁性单元标记器4可以具有设置在其中的磁体10，该磁体10在单元标记器4的主体内偏移并且朝着标记器4的一个面偏置，图41、43、52和54。可以将这种设计的单元标记器4中的偏置磁体10定位成使得磁体10的第一面比磁体10的第二面更靠近单元标记器4的外部上的第一面，磁体10的第二面距单元标记器4的外部上的第二面更远。单元标记器4的第一外部面与其中的磁体10的第一面之间的距离可以小于单元标记器4的第二外部面与其中的磁体10的第二面之间的距离。因此，在单元标记器4的第一外部面处测量的磁力的强度可以强于在单元标记器4的第二外部面处测量的磁力。当具有南极的磁极性的单元标记器4的第一面插入到具有北极的磁极性的托盘2内的相应凹口3中时，在单元标记器4的第一面和凹口3的面之间存在的吸引力可以达到我们称为量值a的量值。可以相反，当具有北极的磁极性的单元标记器4的第二面插入到具有南极的磁极的托盘2内的相应凹口3中时，则在单元标记器4的第二面与凹口3的面之间存在的吸引力可以具有我们称为量值b的量值。量值a可以大于量值b。
两个托盘2可以与一组插入的单元标记器4堆叠在一起，其中偏置磁体10放置在第一托盘2的朝上凹口3内，该第一托盘2放置在工作面上，并且偏置磁体10相应地放置在第二托盘2的朝下凹口3中，朝下凹口3已经堆叠在单元标记器4的顶部上。在这种布置中，托盘2和单元标记器4两者中的磁体10可以使其北极朝上并且其南极朝下。第一托盘2内的单元标记器4的朝下面和凹口3的面可以具有量值为a的吸引力。第二托盘2内的单元标记器4的朝上面和凹口3的面可以具有量值a。当学生将第一托盘2固定在工作面上，抓住第二托盘2并将其从托盘组件12中移出时，由于量值a大于量值b的关系的本质，如图50所示，单元标记器4更有可能残留在第一托盘的凹口3内。
相反，刚刚描述的整个两个托盘组件12和单元标记器组件5可以重新定向，使得第二托盘2放置在工作面上，并且第一托盘2堆叠在单元标记器5的顶部，单元标记器5放置在第二托盘2上的朝上凹口3内。在该第二布置中，托盘2和单元标记器4两者中的磁体10均可以使其南极面向上并且其北极面向下。第二托盘2中的单元标记器4的朝下面和凹口3的面可以继续具有量值为b的吸引力。第一托盘2中的单元标记器4的朝上面和凹口3的面可以继续具有量值a的吸引力。当学生将第二托盘2固定到工作面上时，抓住第一托盘2并将其从组件12中移出，单元标记器4更可能保留在第一托盘2的朝下凹口3内容器中并从第一托盘2的朝上凹口3移出，同样是由于量值a大于量值b的关系，如图61所示。标记器4内的磁体10和托盘2内的磁体10可以被嵌入，使得它们的极性反转，与上面公开的那些极性相反，并且可以维持本文公开的所有功能。
减法运算练习。如图61-67所示，在教师的指导下，学生可以学会使用托盘和单元标记器组件12执行算术的减法运算。如果需要，教师和学生可以使用上面公开的数量卡16、运算符卡18和相等卡19来扩增减法运算练习。为了开始减法运算练习，学生将代表可从中减去另一个数量的数量的第一托盘2放在工作面上。学生将托盘2放在工作面上，以使其中的磁体10的南极朝上，北极朝下。然后，学生可以进行上文公开的计数练习，由此学生将单元标记器4插入第一托盘2的朝上凹口3中，同时大声计数已插入的每个单元标记器4，图62。学生可以实施单元标记器4，从而使磁体10在标记器主体内居中，或者学生可以实施单元标记器4，从而使磁体10在标记器主体内偏移，如前所述。在减法练习的实施例中，学生实施单元标记器4，该单元标记器的磁体在其主体内偏移。
学生将单元标记器4插入第一托盘2的凹口3中，使得标记器4的面在外部标记器面和内部磁体10之间的距离较大的情况下放置于凹口3内。插入的单元标记器4内的磁体10的北极可以朝下并吸引到第一托盘2的凹口3内的磁体10的朝上南极。标记器4的面与它们停留在其中的凹口3的面之间的吸引力提供了吸引力，我们在上文中将其称为量值b。单元标记器4内的磁体10的南极可以朝上。
接下来，学生可以选择数量卡16，该数量卡16等于第一托盘2的凹口3内的单元标记器4的数量，并将数量卡16放置在工作面上，已印有第一托盘的图形表示15的侧面朝上。然后，教师可以向学生出示上面印有减号的符号运算符卡17。然后，学生可以将减号运算符卡17放置在第一数量卡16附近。
继续减法练习，学生接下来选择第二托盘2，该第二托盘2表示可以从第一托盘2减去的数量并且比第一托盘2所表示的数量少。学生随后可以将第二托盘2堆叠于单元标记器和第一托盘的组件12的顶部，使得第一托盘2内的单元标记器4插入第二托盘2的下侧的凹口3中。第二托盘2的凹口3内的磁体10的北极可能会朝下，并且可能会被上文中称为量值a的力吸引到单元标记器4内的磁体的朝上的南极。因为单元标记器4的朝上的外表面与标记器4的主体内的内部磁体10之间的距离是较小的距离，所以单元标记器4内的磁体10和第二托盘2的凹口3内的磁体10比单元标记器4内的磁体10和第一托盘2的凹口3内的磁体10彼此更靠近。量值a可以大于量值b。
接下来，学生可以选择与第二托盘2内的凹口3数量相等的第二数量卡16，并将其放置在工作面上，使得已印刷有第二托盘2的图形表示15的一侧面朝上，并且数量卡16与减号运算符卡17相邻。教师接下来可以向学生出示等号卡19，并指示他们将卡19放置在工作面上与第二数量卡16相邻。从工作面上的卡13的当前布置来看，学生可能已经放置了第一数量卡16，其次是减号运算符卡17，接着是第二数量卡16，接着最后是等号卡19，如图66所示。
在减法练习的这个阶段，学生可能已经在工作面上创建了一个组件12，该组件包括第一托盘2、插入其中的单元标记器4和比堆叠在第一托盘2中的单元标记器4的顶部的第一托盘2少的表示数量的第二托盘2。参照托盘2和单元标记器4的布置，教师可以向学生指出第二托盘2已经覆盖了一定数量的单元标记器4，并且某些一定数量的单元标记器4未被第二托盘2覆盖，并且仍然清晰可见，如图63所示。然后，教师可以指示学生计算清楚可见且未被第二托盘2覆盖的单元标记器4的数量。清晰可见且未被第二托盘2覆盖的单元标记器4的数量表示减法运算练习的解。练习的该阶段也可以用磁体10的标准位置示出，这意味着这些位置在标记器4的主体内不偏移。
为了进一步说明减法运算，学生可以用第一只手将第一托盘2牢固地保持在工作面上，然后用第二只手抓住第二托盘2并将其从组件12中移出。通过标记器4内的偏置磁体10与托盘2内的凹口3内的磁体10之间的关系的性质，从而量值a大于量值b，单元标记器4更可能保留在第二托盘2的朝下的凹口3内，被从第一托盘2内的朝上的凹口3移出，如图64中所示。第二托盘2代表的第二托盘2的凹口3内的单元标记器4的数量已从第一托盘2代表的第一托盘2的凹口3内的单元标记器4的量取走。第二托盘2可以放在工作面上。现在，教师指示学生对留在第一托盘2内的凹口3内的单元标记器4进行计数。如图65中所示，留在第一托盘2中的单元标记器4的数量表示减法运算练习的解。
教师接下来指示学生选择数量卡16，该数量卡16等于第一托盘2中剩余的标记器4的数量，从而成为解卡20。学生可以将解数量卡20邻近等号卡19放置，如图66所示。现在，教师可以指示学生翻转数量卡16，以使已经印有数量的数字表示14的侧面朝上，如图67所示。教师和学生可以讨论数字量卡16的意义及其与第一托盘2代表的数量、第二托盘2代表的数量、从第一托盘2移除的单元标记器4以及剩余在第二托盘2内的单元标记器4的数量以及最后在完成减法运算之后第一托盘2中剩余的单元标记器4的数量的关系。
在其他实施例中，对于运算中的数量，练习可以实施一个以上的托盘2。例如，7减6在底部实现5托盘和2托盘，在顶部实现5托盘和1托盘用于减法。还构想了其他示例，在熟悉本文的教授之后，本领域普通技术人员将容易理解其他示例。
十框架托盘和练习。十框架是常见的教育装置，用于说明不超过十个且包括十个的数量。十框架以各种形式和材料提供，例如纸张、纸板、塑料、木材或其他合适的材料。所有十框架的共同特征是具有十个孔、槽、网格单元或其他形式的分隔部的框架、栅格或其他配置，通常以两行五个排列。十框架包含两行，每行五个，总共十个单元。五框架具有五个这样的分隔部的一行。在十框架的实施例中，如果将十框架印刷在纸上，则学生可以在网格单元中绘制点。在其他形式中，学生可以通过将计数器放在十框架的分隔部中来操纵计数器。
如图68-79所示，可以向建筑套件1提供十框架的托盘6。该托盘6可以被构造成具有总共十个凹口3，其在第一侧面上以两行五个排列，并且具有总共十个凹口3，其在第二侧面上以两行五个排列。根据先前公开的托盘2的设计，十框架托盘6可以具有嵌入在托盘6的凹口3内的磁体10。学生可以以促使人们进一步理解十框架托盘6中的数量表示的各种安排将单元标记器4放置在十框架托盘6的凹口3内。学生可以在第一列中放置单元标记器4，以表示不超过5个且包括5个的数量。学生可以将单元标记器4放置在两行中，以表示偶数量，最多10个(包括10个)。教师可以向学生说明，当十框架托盘6的凹口3内的单元标记器数量表示一个大于1的奇数时，如何可以有一行两个单元标记器4或多行两个单元标记器4中，然后是包含单个单元标记器4的一行。所公开的建筑套件1提供了一个好处，即可以将托盘2堆叠在十框架托盘6的凹口3内的单元标记器4上，以进一步向学生说明在以十框架托盘6表示的数量十的范围内的数字组成和数字分解的概念。所公开的建筑套件1还提供了另一个好处，即可以将带有偏移磁体10的单元标记器4插入十框架托盘6内的凹口3中，并与堆叠在单元标记器4上方的托盘2相一致，并且如上文在减法运算练习中所公开的，被实施为从十框架托盘6减去或去除一定数量的单元标记器4。
大于十的数量可以通过将第一十框架托盘6放置在工作面上，将第二十框架托盘6与第一十框架托盘6相邻放置并将单元标记器4插入到这两个十框架托盘6中来表示大于十的数量。也可以通过将十框架托盘6放置在工作面上，然后将一个或多个单元托盘2与十框架托盘6相邻放置并将单元标记器4插入到所有托盘2和6中的凹口3内来表示大于十的数量。
十框架托盘6的图形表示可以包括在上面公开的数量卡16上印刷的图片15中，以单独或作为较大数量的分量来表示数量十，例如，由此十框架托盘6的图形表示15被印刷在数量卡16上，该数量卡16与印刷在数量卡16上的一单元托盘的图形表示15相邻，一起计数来表示数量“11”。
位值托盘和大数字。如图80-87中的实施例所示，建筑套件1可以设置有专门的托盘2，用于教授位值、大数字建模以及大数字加减运算的数学概念。在一个实施例中，可以提供十框架托盘6，该托盘已经在每个凹口3中印刷，涂漆，压凹，蚀刻或以其他方式刻有数字“1”，并且可以表示一个位值。可以提供另一个十框架托盘6，该托盘已经在每个凹口3中印刷，涂漆，压凹，蚀刻或以其他方式刻有数字“10”，并且可以表示十位值。可以提供又一个十框架托盘6，该托盘已经在每个凹口3中印刷，涂漆，压凹，蚀刻或以其他方式刻有数字“100”，并且可以表示百位值。可以提供又一个十框架托盘6，该托盘已经在每个凹口3中印刷，涂漆，压凹，蚀刻或以其他方式刻有数字“1000”，并且可以代表千位值。这些特殊的十框架托盘6在下文中可以被称为位值托盘21。
在另一个实施例中，为了表示位值数字“1000”或更高，可以在标记和/或凹口3中使用字母“k”来表示千的缩写。例如，千位值托盘21中的凹口3中的记号7可以写为“1k”。从逻辑上讲，可以提供10k和100k的位值托盘21。为了以百万为单元对数字建模，可以在托盘凹口3中使用字母“m”表示百万的缩写。在一个实施例中，可以将位值托盘21垂直定向，从而凹口3形成两个垂直的行，每行五个，并且刻印凹口中的记号7，以便在将位值托盘21置于首选取向时可以读取它们。
可以提供专用托盘2，该专用托盘2在凹口3内刻入了一系列位值数字，这些位值数字从最右边的凹口中的数字“1”开始，并沿从右到左方向在每个连续凹口中以10的倍数增加。该托盘在下文中可以被称为解托盘22。例如，解托盘22可以在位于最右凹口位置的第一凹口3中设置数字“1”的记号7，在位于第一凹口3左侧的第二凹口3中设置数字“10”的记号7，在位于第二凹口3左侧的第三凹口3中设置数字“00”的记号7，在位于第三凹口3左侧的第四凹口3中设置数字“1000”的记号。在一个实施例中，解托盘22可以在工作面上水平定向，以便可以从左向右或从右向左读取记号7，取决于学生所进行的练习。
解托盘22可以定位在解托盘22和位值托盘21的布置的顶部的工作面上。位值托盘21可以以竖直取向定位并且位于工作面上的解托盘22下方。可以定位位值托盘21，使得它们的位值表示以与解托盘22中的位值记号7相同的方式并在从右到左的方向上顺次进行，由此一位值托盘21位于最右边的位置，十位值托盘21位于一位值托盘的左侧，并一直持续到所有位值托盘21都已放置在工作面上为止。解托盘22和相应的位值托盘21的布置在本文中可以被称为位值托盘装置23。
位值和大数字练习。在教师的指导下，学生可以结合标记器4来实现位值托盘装置23，以对大数字进行建模，学习位值的数学概念，并对大数字进行加减运算。为了使用位值托盘装置23对数字进行建模，学生可以从一位值托盘21开始将标记器4放置在凹口3中，然后继续将标记器4放置在相继的位值托盘21中，直到已经对大数字进行了建模。在此过程中，可以指示学生对每个位值托盘21中的标记器4进行计数。接着，学生选择一个已经刻有代表计数数量的数字的标记器4，然后将选定的标记器4插入对应于已计数的位值托盘21的解托盘22中的凹口3中。例如，学生可以通过首先将三个标记器3插入一位值托盘中，然后选择已刻有数字“3”的标记器4，最后将刻有数字“3”的标记器4插入解托盘22中的一位值凹口3中，来对数字“3”进行建模，如图81中所示。
继续地，学生可以使用位值托盘装置23和标记器4进行加法。以图81为起点，学生可以选择一起代表数量“7”的五单元托盘2和两单元托盘2。学生首先从五单元托盘2和两单元托盘2中取出单个标记器4，然后将它们插入一位值托盘21中。如可以很容易确定的那样，将“7”与“3”相加的结果数字是“10”。学生可能会看到一位数值的十框架托盘21完全充满了标记器4和托盘编号10中的标记器4。在练习的这一阶段，教师可以向学生说明位值的概念和重新组合的过程，也称为将数字从较低的位值带入下一个较高的位值。为此，教师可以向学生描述如何将在第一位值中完全填充位值的十框架托盘21转换为在下一个较高位值中的单个标记器4。例如，教师可以指示学生从一位值托盘21中移出所有10个标记器4，然后将单个标记器插入到十位值托盘21中。在练习的此阶段，解托盘22可以包含一个刻有数字“3”的单个标记器4，放在一位值凹口3中。然后，教师可以通过首先计数一位值托盘21中的标记器4的数量，指示学生求解解托盘22。由于学生已从一托盘中移出了所有标记器4，所以数量为零。教师指示学生选择上面刻有数字“0”的标记器4，然后将标记器4插入解托盘22中的一位值凹口3中。继续十位值，学生可以对十位值十框架托盘21的凹口3中放置的标记器4的数量进行计数，在本练习中，标记器4可以是代表数量10的单个标记器4。最后，学生可以选择刻有数字“1”的标记器4，将其放置在解托盘22中的十位值凹口3中，如图84所示。
对大数字建模。在一个实施例中，如图85所示，可以将位值托盘装置23和标记器4实现为对大数字进行建模。在其上刻有数字的三个标记器4放置在解托盘22的凹口3中。在百位值凹口3中，放置了刻有数字“1”的标记器4。在十位值凹口3中，放置有刻有数字“3”的标记器4。最后，在一位值凹口3中，放置标记器4，刻有数字“5”。从左至右读解托盘22示出了较大数字“135”。位值托盘21中的标记器4对应于解托盘22中表示的数量。在百位值十框架托盘21中，与刻在标记器4上的数字“1”相对应的单个标记器4放置在解托盘22中的百位值凹口3中。在十位值十框架托盘21中，将三个与刻在标记器上的数字“3”相对应的标记器4放置在解托盘22中的十位值凹口3中。最后，在一位值十框架托盘21中放置5个标记器，这些标记器对应于刻在解托盘22中的一位值凹口3中的标记器上的数字“5”。
大数字的加法。在一个实施例中，将至少一组另外的一位值托盘21与位值托盘装置23相加使学生能够对大的多位数进行执行加法运算。在一个实施例中，在第一组位值托盘21下方的工作面上放置另外组的位值托盘21，所有特定顺序的位值托盘21垂直对齐。每个附加的第二组位值托盘21可以被实现为在相加运算中对附加数字进行建模。例如，图86示出了用于将“489”与“135”相加的运算的布置。解托盘22显示数字“135”，由第一组位值托盘21中由的标记器4建模。在加法运算中，第一组位值托盘21表示第一数字。第二组位值托盘21包含对数字4建模的标记器4，并在加法运算中代表第二个数字。通过使用上文公开的方法，由此将标记器4重新分组并“进位”到下一个更高的位值，并且由此可以使用上面刻有数字的标记器4来计数并在解托盘22中表示单个位值托盘21中的标记器4的数量，学生可以将两个大数字相加。对于问题“135+489”的最终解是“624”，如图87所示的位值托盘布置和标记器所表示出的。
大数字减法。在实施例中，学生可以以与以上公开的加法练习中类似的方式，使用位值托盘装置23执行大数字的减法运算。代替将标记器4添加到位值托盘21上，学生可以移除标记器4并解析解托盘22中的最终数字。必要时，学生可以从较高位值托盘21重新分组到较低位值托盘，也称为“借位”。例如，学生可能需要从十位值十框架托盘21中移除单个标记器4，并将其重新分组为一位值十框架托盘21中的十个标记器4。
乘法运算练习。在教师的指导下，学生可以学习使用托盘和单元标记器组件执行算术的乘法运算。如果需要，教师和学生可以使用上面公开的数量卡16、运算符卡18和等号卡19来增加乘法运算练习。为了开始练习，学生选择一个代表数量的第一托盘2作为乘法练习中的因数。然后，学生可以继续将单元标记器4插入第一托盘2的凹口3中，从一开始依次大声计数，直到它们填满第一托盘2内的所有凹口3为止。教师可以在此点协助学生，指出已在第一托盘2中计数的单元标记器4的总数。
接下来，学生可以选择数量卡16，该数量卡16等于第一托盘2的凹口3内的单元标记器4的数量，并将其放置在工作面上，该工作面的一侧面上已面朝上印有该第一托盘的图形表示15。然后，教师可以向学生出示上面印有乘法符号的运算符卡18。然后，学生可以将乘法运算符卡18放置在第一数量卡16附近。教师接下来可以向学生出示第二数量卡16，该第二数量卡16表示乘以因数的数量。在此练习中，第二数量卡16可以称为乘数卡24。然后，学生可以将乘数卡24与乘数运算符卡18相邻放置，并使其一面朝上，该朝上的面已印刷有乘数数量的数字表示14。
在乘法运算练习的此阶段，教师可以与学生讨论乘法运算的性质，由此可以将第一托盘2的放置和单元标记器4的计数重复多次，其次数等于乘数卡24所代表的数量。每个新的托盘2可以具有与第一托盘2相同的单元数量。教师还可以指出，学生已经第一次进行了托盘放置和单元标记器计数的练习。在教师的帮助下，学生接下来可以另外重复多次进行托盘放置和单元标记器计数的练习，直到放置并填充有单元标记器4的托盘2的数量等于乘数卡24表示的数量为止。为了完成乘法运算练习，学生和教师检查放置在工作面上的托盘和标记器组件12并计算托盘2的数量。工作面上的托盘2的数量等于乘数卡24表示的数量。为了完成乘法运算练习，学生可以对工作面上的托盘2内的单元标记器4的总数进行计数，然后选择数量卡16，该数量卡16代表的数量等于所计数的单元标记器4的总量，并且代表乘法运算练习的解。
例如，教师可以帮助学生对乘法运算“2x3＝6”进行建模，从而可以将三组两单元托盘2和标记器组件5放置在工作面上，如图88所示。教师和学生还可以利用图90和图93分别所示的数量的图形表示15或数字表示14来利用数量卡16、运算符卡18和等号卡19来说明该运算。
乘法练习的可交换性质。在一个实施例中，在完成本文公开的乘法练习之后，教师可以向学生说明乘法的可交换性质，由此运算中的因数和乘数可以交换其位置，而乘法问题的所得解保持不变。以“2x3＝6”为例，教师可以指示学生交换代表因数(在这种情况下为“2”)的数量卡16和代表乘数(在这种情况下为“3”)的数量卡16的位置。图91和图94示出了使用数量的图形表示15或数字表示14交换因数卡和乘数卡16。在交换因数卡和乘数卡16时，新方程式可写为“3x2＝6”。
接下来，教师可以指导学生使用托盘和标记器组件12对新方程建模。与上述方法一致，学生可以选择第一三单元托盘2并将标记器4插入每个凹口中。然后，学生可以将三单元托盘2和标记器组件5堆叠在当前搁置在工作面上的两单元托盘2和标记器组件5的顶部，如图88所示，将第一三单元托盘2的一端与两单元托盘组件12的端部对准。学生接下来可以选择第二三单元托盘2，并将标记器4插入第二三单元托盘2的凹口3中，然后再次将第二三单元托盘2和标记器组件5堆叠在两单元托盘组件12的顶部。学生使用2个插入标记器4的三单元托盘模拟了“3x2＝6”。创建了一个新组件12，该组件将3个两单元托盘和标记器的第一组件12与2个三单元托盘2和标记器4的第二组件12结合起来，如图89所示。
教师可以指示学生对三单元托盘组件12上可见的标记器4进行计数。学生可以确认三单元托盘和标记器组件12中有六个标记器4，因为两单元托盘中有六个标记器4，标记器组件12位于三单元托盘2下方。教师和学生还可以观察到2个三单元托盘2的组件12如何与3个两单元组件12的长度相同。通过使用托盘和标记器组件12以及可选的数量卡16、运算符卡18和等号卡19，教师和学生已成功地对乘法的可交换性进行了建模。
除法运算练习。在教师的指导下，学生可以学会使用托盘和单元标记器组件12执行算术的除法运算，如图96和图97中所示。如果需要，教师和学生可以使用上述数量卡16、除法运算符卡18和等号卡19来增强除法运算练习。学生可以通过选择一个托盘2或多个托盘2来开始练习，该托盘2或多个托盘2可以用来模拟除法运算的被除数。然后，学生可以将托盘2或多个托盘2放置在工作面上。如果要实现一个以上的托盘2来表示被除数，则学生可以将彼此邻接的托盘2放置在工作面上，并沿着它们各自的纵轴对齐。接下来，学生可以将单元标记器4插入到托盘2或多个托盘2内的凹口3中，直到托盘2中的单元标记器4的数量等于要在练习中用作被除数的数量。出于此练习的目的，可以将实现为表示被除数的工作面上的托盘2或多个托盘2以及其中包含的单元标记器4称为被除数托盘组件25。学生可以选择等于被除数的数量卡16并将其放置在工作面上。然后，教师可以向学生出示运算符卡18，该运算符卡18的一侧面已印有除法运算符符号，也称为“剑号”。学生可以将除法运算符卡18放置在工作面上并与被除数卡16相邻。
在实施例中，教师现在可以向学生出示数量卡16和可以被实现为除数的相应的托盘2。在另一个实施例中，教师可以指示学生选择要被实现为除数的数量卡16和托盘2。为了进行除法运算练习，可以将托盘2称为除数托盘26。学生可以先将除数卡16放在工作面上并与除法运算符卡18相邻。然后，教师可以讨论与学生进行除法运算的目的，由此可以将由第一托盘2或多个托盘2以及其中的单元标记器4表示的被除数组织为由除数托盘26定义的数量的组。教师可以指示学生将除数托盘26堆叠到搁置在被除数托盘组件25内的凹口3内的单元标记器4上，使得单元标记器4也搁置在除数托盘的下侧的凹口3中。为了与从左到右读数字行保持一致，学生可以将除数托盘26堆叠在被除数托盘组件25的单元标记器4上，从最左侧的单元标记器4开始，一直沿着单元标记器4的线性对准向右。接下来，教师指示学生对完全可见并且除数托盘26没有覆盖的被除数托盘组件25内的单元标记器4的数量进行计数。如果计数的单元标记器4的数量大于或等于除数托盘26表示的数量，则教师指示学生选择一个单元数量等于除数托盘26的另一个托盘2。这个新选择的托盘2也可以称为除数托盘26。现在，学生可以将第二除数托盘26堆叠到被除数托盘组件25内的单元标记器4上，并紧靠在第一除数托盘26的右侧。
如果计数的数量大于或等于除数托盘26的单元数量，则学生可以重复对被除数托盘组件25中可见和未覆盖的单元标记器4进行计数并将新选择的除数托盘26堆叠到单元标记器4上的过程。当不再有除数托盘26可以堆叠在被除数托盘组件25内的单元标记器4上时，每个除数托盘26下侧的所有凹口3都将由被除数托盘组件25的单元标记器4填充，学生可以计算堆叠在被除数托盘组件25顶部的除数托盘26的总数。计数的除数托盘26的数字是商，从而得到除法运算练习的解。如果除数托盘26仍未覆盖任何单元标记器4，则单元标记器4代表除法运算的其数。在下文中，在利用小数余数练习的除法运算的公开中讨论了带余数的除法。
在实施例中，在教师的指导下，学生可以通过使用托盘和标记器组件12以及可选地，数量卡16、运算符卡18和等号卡19对等式“8÷4＝2”建模来学习除法学生。首先在工作面上建立被除数托盘组件25。学生可以将第一五单元托盘2放置在工作面上，将第二五单元托盘2放置在凹口3内，如图96所示，其上标有数字6至10。
在另一实施例中，学生可以在工作面上放置五单元托盘2和三单元托盘2。在任一种情况下，学生将彼此邻接的托盘2沿其各自的纵轴排列放置在工作面上。接下来，学生将总共八个标记器4插入搁置在工作面上的托盘2的凹口3中，从最左侧的凹口3开始，并从左向右进行。学生现在已经完成了被除数托盘组件25。
图98和图99示出了在除法练习中卡13的实施方式，并分别示出了数量卡16的图形侧15和数字侧14。如果要实施卡13，则学生选择第一数量卡16，其表示等式中的被除数，在这种情况下为数字“8”，并将其放置在工作面上。根据学生和教师的判断，学生可以将数量卡16放置在工作面上，使面向上的一面印有数字“8”的图形表示15，或者在另一个实施例中，印有数字“8”的数字表示14。接下来，教师指导学生将除法运算符卡18置于被除数卡16的附近并在其右边。接着，教师指导学生为数字“4”选择数量卡16，可以将其实现为除数，将数量卡16放置在除法运算符卡18的附近并在其右边。最后，学生可以将等号卡19放置在工作面上，邻近除数卡16并且在除数卡16右边。在教师的指导下，学生已使用卡13为方程式“8÷4＝2”建模，但解空间为空。
在练习的这个阶段，教师可以通过提出以下问题来更详细地解释除法练习的目的：“四乘几等八？换句话说，我们可以八个标记器4上方并排堆叠多少四单元托盘2？”。学生可以开始将四单元托盘2堆叠在被除数托盘组件25中的八个标记器4的顶部，直到所有标记器4被四单元托盘2覆盖并且没有标记器4可见为止。接下来，教师可以指示学生对已经堆叠在被除数托盘组件25顶部的四单元托盘2的总数进行计数，从而说明练习中方程的解为“2”。从图97中可以看出，在被除数托盘组件25的顶部上总共堆叠了两个四单元托盘2。如果在练习中使用卡13，则教师可以指示学生选择代表数字“2”的数量卡16，并将其放在等号卡19旁边和右侧的工作面上。用于该数字的该卡表示除法方程式中的商，可以称为商数卡27。
除法与乘法练习的反向关系。教师可以向学生说明除法与乘法的反向关系。完成上述公开的除法练习后，工作面上的卡13对等式“8÷4＝2”建模。教师可以向学生解释与除法的相反或逆运算是乘法。如果“8÷4＝2”为真，则“2x4＝8”也为真。为了说明这一事实，教师可以指示学生将代表数字“8”的被除数卡16与代表数字“2”的商数卡27交换。图101示出了图片数量卡15的交换过程，而图103示出了数字量卡14的交换过程。接下来，学生可以翻转已经在背面印刷了乘法运算符卡18的除法运算符卡18。图102示出了使用图形卡15的逆方程式，而图104示出了使用数字卡14的逆方程式。
继续练习，教师可以使用托盘和标记器组件12帮助学生对上述逆关系进行建模。在教师和学生对如上所述的方程式“8÷4＝2”进行建模之后，如图97所示，在工作面上放置托盘和标记器组件12。教师可以指示学生将标记器4放入位于组件12顶部的两个四单元托盘2中朝上的凹口3中。然后，学生可以对逆方程式“2x4＝8”，由卡13的布置所表示的，卡13也放置在工作面上，如图102或图104所示。学生可以将四个两单元托盘2堆叠到放置在组件12中的两个四单元托盘2中的标记器上，如图100所示。教师和学生可以观察到两个四单元托盘2和相应的标记器4的组件12以及四个两单元托盘2和相应的标记器4的组件长度相等，从而证明了这两个方程式的反向关系。
带数字分数的标记器。在一个实施例中，建筑套件1中的一些或所有单元标记器4可以在第一侧面、第二侧面或两侧面上印刷，上漆，压凹或以其他方式刻入，包括第一数字标记的数字分数28，设置在斜号线(也称为分数斜线)上方，然后在斜号线下方设置第二数字标记，从而可以实现为表示数字分数28。可以为包含在建筑套件1中的每个单元托盘2数量提供上面印有分数28的单元标记器4。对应于特定托盘2的单元标记器4上的分数28可以具有作为分子的数字1和作为分母的表示与由托盘2表示的数量相等的数量的数字。例如，在两单元托盘2的朝上的侧面上的凹口3可以填充有单元标记器4，每个单元标记器4上已经印刷有分数1/2。在两单元托盘2的上下文中，单个这样的单元标记器4可以被认为是由三单元托盘2表示的总量的一半。继续，在三单元托盘2的朝上的一侧面上的凹口3可以填充单元标记器，每个单元标记器上都印有分数1/3。在三单元托盘2的上下文中，单个这样的单元标记器4可以被认为是由三单元托盘2表示的总量的三分之一。在三单元托盘2的上下文中，两个这样的单元标记器4可以认为是三单元托盘2表示的总量的三分之二。使用标记器4和托盘2表示分数28的过程和技术可以应用于任何整数，由此由托盘2的第一侧面上的凹口3的数量表示的数字被实现为数字分数28中的分母，可以被印刷在等量的标记器4上。例如，图105示出了单元托盘和标记器，其上具有用于整数数字“2”，“3”，“4”和“5”的数字分数28。
带分数余数除法练习。考虑使用小数表示法时，方程式“9÷4＝2.25”如何写为“
在教师的指导下，学生可以使用如图106和图107所示的托盘和标记器组件12并采用上述除法运算练习对除法运算“9÷4”建模。从图107明显可见，两个四单元托盘2可以堆叠在被除数托盘组件25的顶部，而一个标记器4仍然未被覆盖。该单个标记器4表示单词问题“9除以4为2，余数为1”中的余数1。教师可以向学生解释，剩余的标记器是不完整的四单元托盘2的部分分量，因为“4”是运算中的除数。该剩余标记器4在下文中可以在练习中称为余数标记器29。教师接着可以指示学生选择第三四单元托盘2，并将其放置在与已经存在于工作面上的托盘和标记器组件12相邻的工作面上。接着，教师可以指示学生将在其上印刷有分数1/4的标记器4插入到第三四单元托盘2的每个凹口中，如图108所示。该托盘组件12可以被称为“第四托盘组件”。在练习的这个阶段，教师可以进一步解释四单元托盘2内的四个标记器4中的每一个与四单元托盘2所表示的总量的关系。每个标记器是存在于四单元托盘2中的四个之一，并且可以表示为可插入的标记器4总数的1/4。
进一步地，教师可以向学生解释，仍留在除法托盘组件25中的单个标记器4也可以被认为是四单元托盘2的1/4，并且可以指示学生将除法托盘组件中的余数标记器29与第四托盘组件12中的1/4标记器4之一进行交换，如图109所示。教师可以指示学生从工作面上取下第三个四单元托盘2或选择将其留在原处。最后，教师可以向学生解释他们如何建模“9除以4”，以及如何在除法托盘组件中读得解为“
平方数布置。在教师的指导下，学生可以使用托盘和标记器组件12对平方数建模，如图110-112所示。例如，学生可能首先选择要平方的数字。然后，学生可以选择代表该数字的托盘2并将其放置在工作面上。学生可以继续将先前选择的单元数量的托盘2放置在工作面上，直到托盘2的数量也等于所选择的数量。然后，学生可以将托盘2排成一排，以形成正方形布置11。接下来，学生可以沿着正方形布置11的每一个边对标记计数，并且发现所有数量相等。然后，教师可以介绍正方形的几何性质，从而使所有边都相等。数量卡16和运算符卡18可以被实现为向学生示出如何对数的平方进行数学记法。对于高年级学生，教师接下来可以介绍诸如32之类的平方的数学记法。在图中显示22、32和42的布置。
侧向互锁轮廓和多网格布置。在一个实施例中，托盘2内的凹口3的中心线可以彼此等距。在一个实施例中，托盘2可以在凹口3的中心线之间共用公共距离。在一个实施例中，两个托盘2可以被定位在工作面上，彼此相邻并彼此邻接并且在一端对齐，由此第一托盘2内的每个凹口3可以与第二托盘2中的凹口3对准，只要第二托盘具有足够的长度，如图113和114所示。在一个实施例中，在两个邻接的托盘2之间的对准的凹口3的中心线之间的距离可以等于单个托盘2中的凹口的中心线之间的距离。如图115和116所示，第三托盘2可以以交叉方式堆叠到图113和114所示的布置上，由此第三托盘2的纵轴垂直于布置11中的第一和第二托盘2的纵轴。如参照图116所进一步可知，可以以正方形网格图案的布置11布置和堆叠托盘。
在一个实施例中，托盘2可以具有围绕每个凹口3的第一尺寸的半径轮廓，并且在每个凹口3之间具有相同尺寸的反向半径轮廓。在一个实施例中，托盘2可以彼此邻接，由此第二托盘2中的凹口3可以在第一托盘2中的凹口3之间对准，从而第二托盘2中的凹口3周围的外半径轮廓适合第一托盘2中的凹口3之间的内半径轮廓，如图117和118中所示，并且在下文中可以称为棋盘格状的托盘组件或“侧向互锁轮廓”30。以这种方式的布置，第一托盘2和第二托盘2中的凹口3的中心线之间的距离可以等于单个托盘2中的凹口3的中心线之间的距离，并且两个托盘2中的凹口3的中心线之间的距离可以形成彼此对应的三角形网格图案。当从顶部并在平面图中观察布置11时，任何三个相邻凹口的中心线形成等边三角形。第三托盘2可以堆叠在由第一和第二托盘2形成的三角形网格布置11上。要在正方形和三角形栅格中布置和堆叠的托盘和标记器组件12的实用性在前面游戏和建筑套件功能的部分中进行了公开。
利用建筑套件玩的示例数字游戏。在一些基础数学课程中，存在一个名为“得到方式”的练习，其中要求学生写下不同数字的组合，这些数字加在一起后等于“得到方式”目标数字。例如，学生可以使用“得到7的方式”玩游戏。然后，学生可以写下“6+1”，“4+3”甚至“5+2”。每对数字加起来就等于目标数字“7”。将数字“6”和“1”相加得到“7”被认为是一种收敛的求解的练习，因为只有一个正确的答案。在发散的求解练习中，没有单个正确的答案。挑战学生发现许多可能的解之一。“得到方式”就是一种这样的发散求解练习，对创造性和灵活思维的发展有意义。
建筑系统1可以被实现为玩“得到方式”的版本，由此学生可以给出多个托盘和标记器组件12，每个托盘和标记器组件加起来达到目标数字。在图121中示出了由托盘和标记器组件12组成的“得到6的方式”挑战的一些可能的解。
可以在建筑套件1中提供具有与托盘凹口3匹配的突出部32的模块化游戏板31。游戏板31上的突出部32可以配置为正方形网格，并且可以允许托盘和标记器组件12以网格的形式彼此相邻地布置在游戏板31上。游戏板31本身可以彼此相邻并布置在网格中以扩大游戏区域。磁体10可以嵌入游戏板上的突出部32内，以允许托盘2牢固地装配在板上31上。
可以利用建筑套件1玩的另一种数学游戏并入并在上面公开的游戏板31上玩，如图122所示。游戏的目的是在受给定故事问题约束的情况下，使用托盘和标记器组件12在起点和终点之间构建路径。可以提供故事问题，给玩家带来不同程度的挑战。可以提供标记器4，该标记器4已经被印刷，涂漆，压凹，蚀刻或以其他方式刻有描述故事问题中的元素的图片9。故事问题还可以确定起始和结束托盘以及标记器组件12的位置。可以将包含上面印有图片9的标记器4的第一一单元托盘2放置在游戏板31上，并可以表示故事中的角色，并将其作为路径构建挑战的起点。可以将包含其上印刷有图片33的标记器4的第二一单元托盘2放置在游戏板上，并且可以表示故事中的目标，并可以用作路径构建挑战的终点。图123示出了游戏板31，其具有由托盘和标记器组件12代表的起点，上面印刷有蜜蜂图片9，以及由托盘和标记器组件代表的终点，上面带有蜜蜂蜂巢图片9。
例如，示例性的故事问题可以称为“蜜蜂回家”，并且向标记器4提供如图123所示的蜜蜂和蜂巢的图片9。故事问题可能写为“帮助蜜蜂回家之前先拜访4朵花”，这提供了玩家发散解决问题的一个难题。有许多解决该特定故事问题的方法。玩家可以选择单个四单元托盘2以形成如图124所示的笔直路径，或者玩家可以选择构建一个由两个两单元托盘2组成的转弯路径，如图125中所示。图126-135示出了针对该故事问题的多种解决方案。路径构建游戏为学生提供了一种参与方法，用于练习将挑战路径长度(在这种情况下为“4”)计数，感数，组合和分解为由托盘和标记器组件12组成的组件部分。
几何形状。在教师的指导下，学生可以学习并建立几何形状11，该几何形状包括但不限于如图137和图138所示的三角形，如图139和图140所示的正方形，如图141和图142中所示的矩形，如图143和144中所示的平行四边形，以及如图145和146中所示的六边形。
建筑套件功能。该建筑套件的以下特征可以提供灵活的框架，学生可以在建设性游戏期间使用它构建各种形状、结构、构造或布置11；托盘2的相对侧上的凹口3可以在将标记器4插入其中时允许它们堆叠，侧向互锁轮廓30以及托盘2内的凹口中心线之间的关系可以允许它们以正方形和三角形网格图案11布置，以及托盘2中的标记器4与凹口3之间的磁性连接10可以提供绕穿过标记器4和凹口3的中心线的旋转轴的运动自由度。图147示出了由托盘和标记器组件建造的结构11，该结构是具有带有可操作铰链的门的壁。图148示出了处于打开位置的门。如图149所示，可以使用结合了上文概述的特征的建筑套件来构建高度复杂的结构和布置11，从而允许将该套件用于基础结构设计和组装技术的教学或自学。
建模和拼写单词。拉丁字母可以刻在单元标记器上，在下文中称为字母标记器34。字母标记器34可以插入到托盘2中的插槽或凹口3中，并用来对单词建模。例如，图150示出了一系列单元标记器4，其上分别刻有字母“b”，“a”，“l”和“l”的序列，并插入到四单元托盘2中，从而对单词“ball”进行建模。根据单个托盘2的长度或所采用的一系列托盘2的长度，可以对各种字符长度的单词进行建模。
使用建筑套件玩的示例文字游戏。在教师的指导下，学生可以使用托盘2和字母标记器34的组件12学习建模和拼写单词。为进一步增强学生的学习建模和拼写单词的经验，可利用托盘和字母标记器玩一些示例游戏。
在教师的帮助下，学生可以玩名为“单词长度挑战”的示例文字游戏。为了开始游戏的一轮，教师选择一个特定长度的单元托盘2，在此实施例中为三单元托盘2。然后，教师说出目标单词，该目标单词的字符长度与所选单元托盘2相同。并指导学生拼写目标单词。通过在该轮开始时提供托盘2，教师可以为学生提供有关正确拼写单词所需的字符数的提示。在更具挑战性的游戏形式中，教师可以说出目标单词，但要求学生自己选择托盘2。
在教师的帮助下，学生可以玩示例文字游戏，称为“词汇挑战-相同结尾”。在示例游戏中，教师可以组装并向学生展示托盘2，该托盘2包含放置在托盘2的每个相应插槽或凹口3中的字母标记器34，但单词中的第一个字母除外，该字母将留空，没有插入字母标记器34。例如，教师可以出示一个三单元托盘2，该托盘在最左侧和第一插槽3中不包含字母标记器34，在左侧第二个插槽3中不包含字母“a”标记器34，并且在左侧第三个也是最后一个插槽3中不包含字母“t”的标记器34。该托盘2在下文中可以被称为“游戏”托盘，并且第一位置插槽3被留空并且剩余的插槽3被教师用字母标记器34填充的状态在下文中被称为游戏托盘的“开始状态”。教师可以将游戏托盘2放置在工作面上。教师还可以在工作面上并且邻近游戏托盘2放置一定数量的字母标记器34。图151示出了游戏的该阶段工作面上的游戏托盘2和字母标记器34。然后，教师可以挑战学生以尽可能多的单词来建模，这些单词具有相同的结尾但首字母不同。学生可以首先从工作面上选择一个字母标记器34，然后将其插入游戏托盘2的空的第一最前面的插槽3中，以便对单词建模。在学生正确地建模了单词之后，教师可以记录建模的单词，并通过移除第一位置插槽中的字母标记器34将游戏托盘2返回到开始状态。然后，学生可以重复该过程，由此他们从工作面上的建筑套件1中选择一个新的字母标记器34，将其插入游戏托盘2中的空的插槽3中以模拟一个新单词。游戏的更具挑战性的形式可以使用不止一个托盘2，其中单词的“相同结尾”部分的字母标记器34被插入到它们自己的托盘2中。学生然后可以选择第二托盘2，将字母标记器34插入第二托盘2中，最后将第二托盘2放置在第一托盘2附近并与第一托盘2共线，以模拟单词。在这种游戏形式中，由于学生选择的单词的开始部分的字符长度可以如图152和图153中所见大于所示的字符长度，因此可以对更多的单词进行建模。
在教师的帮助下，学生可以玩一个名为“词汇挑战-相同开头”的示例文字游戏。在一个示例游戏中，要求学生创建尽可能多的单词，所有单词都以相同的辅音字母组开头。为了开始示例游戏，教师可以选择第一托盘2，在插槽3中插入字母标记器34以形成诸如以“tr”开头的公共单词，并将第一托盘2放置在工作面上。教师还可以在工作面上并且邻近游戏托盘2放置一些字母标记器34，如图154所示。然后，教师挑战学生以单词“tr”开头尽可能多地建模单词。学生可以选择第二托盘2并将其放置在与第一托盘2相邻的位置，并与之成共线关系。然后学生可以从工作面选择字母标记器34并将其插入第二托盘2的插槽3中来建模一个单词。学生正确建模单词后，教师可以记录建模的单词。学生可以使用先前选择的第二托盘并在其中移去字母标记器34，或者移去第二托盘2并选择单元长度与第二托盘2不同的第三托盘2。在两种情况下，学生都重复该过程。学生选择字母标记器，将其插入进托盘插槽并建模一个新单词。图155和图156每个都显示一个示例建模单词。
还构想了建筑系统的其他实施例，其可以包括但不限于具有其他运算符或符号(例如大于，小于)或逻辑运算符(例如与(and)，或(or)，异或(xor)和非(not))的卡。还考虑了具有其他示例性轮廓的托盘，仅在单侧具有凹口的托盘，其他示例性标记器和托盘凹口形状(例如正方形固体和球形)，不可堆叠的托盘，以及其轮廓缺少如上所述的侧向互锁特征的托盘。在熟悉本文的教授之后，本领域普通技术人员将容易理解这些和其他实施例。
在建筑系统的其他实施例中，磁体和/或磁体/磁性材料可以用其他可移除的附件代替，例如钩环紧固件。在实现钩环紧固件的实施例中，可以在标记器的“弱”侧上设置较小面积的钩材料，而在标记器的“强”侧上设置较大面积的钩材料。托盘凹口可设置有恒定面积的套环材料。第一托盘可以从标记器“强”侧的第二托盘中拉出标记器，而较大的钩材料区域朝上。也可以采用现在已知的或以后开发的任何其他合适的附接机构。实际上，在其他实施例中，附接机构可以被完全省略。
注意，示出和描述的实施例是出于说明的目的而提供的，并且不意图是限制性的。还可以想到其他实施例。
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